平成１３年９月９日
「高校数学セミナー」ｉｎ 岐阜 （募集要項）
『１』身の回りにある数学の世界を探してみよう。『身の回りにある数学の世界を探してみよう。
驚くべき数の不思議 数学に支えられた巨大な建築物 大数学者の驚くべき発想。』
『数学セミナー』って、何をするの？
（１）身の回りにある様々な事象を数学の目で探り、新しい発見をします。
（２）数学のおもしろさを体験し、考える喜びを味わいます。
（３）一流の講師が、数学の最先端の話を分かりやすく解説します。
（例：360年以上解くことができなかったフェルマーの定理）
『２』 応募案内
（１）参加対象：岐阜県内の高校生１〜３年生
（２）期日：平成13年８月６日〜８日 １０時より１６時まで
（３）会場：岐阜県民ふれあい会館、
（４）参加料：無料 締め切り：７月19日
『３』 講義案内：
１．８月６日（１０時から１６時）：講師：岐阜大学教育学部（山田雅博助教授）
（１）数について（数字で遊ぼう。数の話・倍数・素数）
（２）自然数について（自然数って何？足し算って何？）
２．８月７日（９時半から１６時）：講師：午前中は岐阜大学教育学部（山田雅博助教授）、午後は岐阜高校林辰郎教諭
（１）命題と論理（背理法は本当に正しいのか？自然数と整数はどっちが多いか？）
（２）数学オリンピックの過去問に挑戦
３．８月８日（９時半から１６時）：講師：筑波大学 （渡辺公夫教授）
１．最近証明された「フェルマーの定理」を解決するにあたる経緯と証明に概要）
２．交流会（今日の講義と演習について）
『４』「高校数学セミナー」の報告（１日目）をします。講師は岐阜大学教育学部山田助教授
１限目は数についての話でした。最初は、１．数の分類で、自然数から始まり整数、有理数、無理数、実数と受講生に問いかけながら定義の説明がありました。
次に、２．数の歴史についてです。・ＢＣ500年くらいピタゴラス教団（ギリシャ）が数とは正の有理数のみと思っていた。
（ただし、０の記号をない。また、無理数を発見してはいたが、隠されていた）。
・紀元後600年くらいインドで「０の発見」があり、正の数・負の数・０を用いていた。
・1500年くらいドイツで「＋」「−」を導入。
・1860年くらいドイツのデデキントが「無理数とは何か」。
・1890年くらいイタリアのペアノが「有理数とは何か」を考えた。
３．補数について、補数とは９と１、９３と７とかいう組を互いに補数という。２つの数を足して１０，１００、・・・となる数を互いに補数という。
ここで、積９８×８７の計算について、補数を用いて行う説明がありました。
すなわち、補数２と１３をかけて２６（下２桁、ただし、３桁の場合は百の位だけ後で足します）。次に９８と８７を足して１８５、
このとき、百の位は１は無視（100を引く）し、下２桁の８５が上２桁になり、答えは８５２６という方法です。
みなさん！理屈を考えてください。
さらに、９３×８２は、２つの補数の積７×１８＝１２６、９３＋８２＝１７５で、百の位は補数から１と７５を足して７６とし、答えは７６２６となります。
＜受講生はこの計算方法に感動＞
２限目は倍数についてです。３や９の倍数の発見方法を証明しながら、解説されました。この考え方で11の倍数についても考えなさいと問題を出されていました。
では、まとめておきます。
「３の倍数」は、ある数の数字の和が３の倍数なら、その数は３の倍数。
例：２６７＝２×１００＋６×１０＋７×１
＝２（９９＋１）＋６（９＋１）＋７
＝３｛２×３３＋６×３｝＋（２＋６＋７）
「９の倍数」は、ある数の数字の和が９の倍数なら、その数は９の倍数。
例：３９２４＝３×１０００＋９×１００＋２×１０＋４×１
＝３（９９９＋１）＋９（９９＋１）＋２（９＋１）＋４
＝９｛３×１１１＋９×１１＋１×１｝＋（３＋９＋２＋４）
「11の倍数」は、１けたおきにとった数字の和の差が、11の倍数。
例：３９２７＝３×１０００＋９×１００＋２×１０＋７×１
＝３（１０００＋１）＋９（１００−１）＋２（１０＋１）＋（−３＋９−２＋７）
＝３（１００１）＋９（９９）＋２（１１）＋（−３＋９−２＋７）
＝３（１１×１３×７）＋９（９×１１）＋２×１１｝＋（−３＋９−２＋７）
＝１１｛（３×１３×７）＋（９×９）＋２｝＋（−３＋９−２＋７）
このセミナーの中にはなかったのですが、あと、「７の倍数」「１３の倍数」の発見方法があります。
ヒントは「11の倍数」と同じですが、1001＝７×11×13に由来しています。読者のみなさん考えてみては。
次に、素数（１とその数以外に約数を持たない自然数。ただし、１は除く）の話です。
２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，・・・・
で、自然数を１（単位数）、素数、合成数に分類できます。
【定理：「素数は無限個ある」】という定理を証明するのに、背理法を用います。
（注：背理法とは「結論の逆を仮定」して、「矛盾」を導く、そして、「仮定は間違い」を述べる論法）
【証明】素数を有限個と仮定して、素数を小さい順に並べると、２，３，５，７，・・・，ａ（ここで、終わり）
そこで、Ａ＝２×３×５×７×・・・×ａ＋１とおくと、ａ＜Ａ で、
Ａは素数でないとすると、素数２，３，５，７，・・・、ａのどれかと約数にもつ。すなわち、割り切れる。
ところが、Ａは２でも、３でも、５でも、・・・、ａでも割ると、余りが１となり、割り切れない。これは、矛盾。
したがって、素数は無限個ある。（証明終わり）
＜この証明は、簡単に理解できたようで、記憶に残っていくでしょう。＞
ここで、昼食をはさんで、午後から３限目に入り、
１．素数はどうかを見分けるのに、調べたい数より大きくて、一番近い平方数の平方根をみつけ、みつけた数より、小さい素数で割れるか調べる。
例えば、４９９が素数かどうかを見る。４９９＜５２９＝２３２
もし、４９９が２３で割り切れたとすると、２３×□＝４９９＜５２９＝２３２ ∴ □＜２３
同様に、４９９が２３より大きい数で割り切れたとすると、もっと小さな数を約数にもつ。
以上から、素数かどうかを調べたいとき、４９９＜（ある数）２ で、このある数より、小さい素数で割り切れるかを調べる。
１１３＜１１２，４９９＜２３２ で調べて、素数と判定する。
２．自然数のペアノの公理を５つあげられ、集合Ｎが自然数であることを定義された。（涙をのんで認める）
（１）１は自然数である。
（２）各自然数に対して、それらの後者と呼ばれる自然数がただ一つ定まる。
（３）１はいかなる自然数の後者を持たない。
（４）相異なる自然数の後者は相異なる。
（５）集合Ｍが次の条件（＊）を満たすならば、Ｍはすべての自然数Ｎを含む。
（＊）１．Ｍは１を含む。２．Ｍが自然数ｎを含むとき、常にＭはｎの後者をも含む。
これによって、１は自然数Ｎに含まれるから、１の後者が自然数Ｎにある。これを２と書く。
２は自然数Ｎに含まれるから、２の後者が自然数Ｎにある。これを３と書く。・・・・
３．数学的帰納法はペアノの公理を５番目でして、この証明方法で何となく自然数全体で成り立つことを認めてくださいと。
で、この帰納法で。問題：ここで、問題：１＋２＋３＋４＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２を証明しなさい。
＜初めて試みる受講生にとっては、理解しづらかったようです。＞これで、１日目が終了でした。明日からが楽しみです。
『５』「高校数学セミナー」の報告（２日目）をします。午前中は講師は岐阜大学教育学部山田助教授、午後は、午後は岐阜高校林辰郎教諭
１限目：１．命題と論理の講義です。命題とは正しいか正しくないかが、はっきりしているもの。
例えば、ｐ：「２は８の約数である」。これは真、Ｔ（ｔｒｕｔｈ）と書く。
ｑ：「１／５は自然数である」。これは偽、Ｆ（ｆａｉｌ）と書く
ｐかつｑをｐ∧ｑ、ｐまたはｑをｐ∨ｑ、ｐでないことをｐ⌒と表す。
（太郎さんにとっては、久しぶりです）を作成し、定理：「ｐ⇒ｑ」⇔「ｐ⌒∨ｑ」を証明しました。
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ｐ |
ｑ |
ｐ |
ｑ |
ｐ∧ｑ |
ｐ∨ｑ |
ｐ∨ｑ |
ｐ∧ｑ |
ｐ∨ｑ |
ｐ∧ｑ |
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Ｆ |
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Ｔ |
Ｆ |
Ｆ |
【定理：ド・モルガンの法則】（１） ｐ∨ｑ＝ｐ∧ｑ （２） ｐ∧ｑ＝ｐ∨ｑ （注：真偽表から成り立つことがわかる）
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ｐ |
ｑ |
ｐ⇒ｑ |
ｐ⇔ｑ |
ｐ∨ｑ |
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Ｔ |
Ｔ |
Ｔ |
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Ｆ |
Ｆ |
Ｆ |
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Ｆ |
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Ｆ |
Ｆ |
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Ｔ |
Ｔ |
【定理：「ｐ⇒ｑ」⇔「ｐ∨ｑ」】 （注：真偽表から成り立つことがわかる）
２限目：「ｐ⇒ｑ」の証明方法の１つに、対偶「ｐ⌒⇒ｑ⌒」があり、これが同値であることを示しました。
２つ目の方法には、背理法があります。これは、「ｐ⇒ｑ」を証明するのに、ｐであるけどｑでないと仮定して矛盾を導き出す。
【定理：「ｐ⇒ｑ」⇔「ｐかつｑでない⇒矛盾」】を証明しました。
２限目は、集合の濃度です。自然数全体をΝ、整数全体をΖ、有理数全体をQとする。
＊：Ａ，Ｂが無限集合のとき、Ａ，Ｂの要素の各々がもれなく１本１本の線で結べるとき、ＡとはＢは同じ濃度をもつという。
ここで、問題１．ＮとＺの要素の個数はどちらが多いか。
（受講生に聞いたところ、半数近くがＺが多いと答えていましたが、中には同じと考えている受講生もいました。）
『（さすが、レベルが高い。どこで知ったのだろう。）証明』：Ｚ∋０を、Ｎ∋１に対応し、Ｚ∋ｎ（正の整数）をＮ∋２ｎ＋１（奇数）、Ｚ∋ｎ（負の整数）をＮ∋−ー２ｎ（偶数）に対応させると、
ＺとＮの要素のそれぞれがもれなく１対１に対応しているから、ＺとＮは同じ濃度を持つ。証明終。
問題２．正の有理数全体と自然数全体は同じ濃度か。
『証明』１／１，２／１，３／１，４／１，・・・
１／２，２／２，３／２，４／２，・・・
１／３，２／３，３／３，４／３，・・・
と、図を書いて、斜めに番号を打つことにより、丁寧に証明させました。が、答えは同じ。
問題３．自然数全体と実数全体は同じ濃度か。ここで、１＝0.99999……が等しいことを確認してから、０から１までの実数をＪとし、すべて無限小数に表すと、番号がつかない無限小数があるので、同じ濃度でない。（太郎さんにとって、この証明方法方は大学で習います以来です。高校では扱っていません）
【定理：ＪとＮは同じ濃度を持たない。
『証明』（＊ 背理法で示します） 逆に、ＪとＮは同じ濃度をもつと仮定する。このとき、Ｊ＝｛ｘ１，ｘ２，ｘ３，・・・｝と番号をつけて並べられる。
約束 ０．６＝０．５９９９９・・・と書ける。すべて、０から１の間だから
ｘ１＝０．ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ１４・・・・
ｘ２＝０．ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ２４・・・・
ｘ３＝０．ｘ３１ｘ３２ｘ３３ｘ３４・・・・
ここで、ｙｎ＝１（ｘｎｎが偶数のとき）、ｙｎ＝２（ｘｎｎが奇数のとき）、として、
ｙ＝０．ｙ１ｙ２ｙ３ｙ４・・・・とおくと、ｙはｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，・・・のどれとも違う。ｙはｘｎと小数第ｎ位と違う。
しかし、０＜ｙ＜１より、ｙ∈Ｊ よって、矛盾 （注：実数は番号を付けられない）
３問紹介します。
１問目：縦、横、斜め、どの方向でも秒速１ｃｍで動けるペンを備えた作図装置がある。ペンが紙についていれば動きに従って線が描かれ、ペンが紙から離れていれば何も描かれない。この装置で次の図形（１ｃｍの正方形が４つある）を描くのに最短で何秒かかるか。
ただし、図に現れる角はすべて直角とし、ペンを紙につけたり離したりする動作には時間はかからないものとする。（出典：199５年日本数学オリンピック予選）
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２問目：辺がＡＢとＣＤが平行な等脚台形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝ＢＣ＝ＤＡ＝１，ＣＤ＝１＋√２である。辺ＡＤ上に動点Ｅを以下の条件を満たすようにとる。
条件：Ｅを通るある直線を折り目としてこの等脚台形を折り曲げたとき、頂点Ａが辺ＤＣ上にくるようにできるＤＥの長さの最大値を求めよ。
（出典：1998年日本数学オリンピック予選）
３１問目：1998以下の正の整数ｎでｎ＾1998−１が１０の整数倍になるものが何個あるか。（出典：1998年日本数学オリンピック予選）
４２問目：1996個の電球があり、順に１，２，…，1996と番号がついている。最初、これらの電球はすべてOFFである。正整数ｋに対し、操作Ｐ（ｋ）は、番号がｋの倍数であるすべての電球のON/OFFを反転させる操作とする。この操作Ｐ（ｋ）をｋ＝１，２，…，1996について１回ずつ行ったとき、最終的にONになっている電球の個数を求めよ。（出典：1996年日本数学オリンピック予選）
５３問目：一辺が長さ１の正二十面体のもっとも長い対角線の長さを求めよ。（出典：1999年日本数学オリンピック予選）
＜太郎さんのコメント：受講生の目の輝きが違います。本当に未だ見ぬ偉大な数学者といった感じです。考え方がスムーズで発想が柔らかいという感じ。
答えに至るまでの時間が短いのんです。驚き。＞
以下は概略でして、これから書きます。（記入９月９日）
『５』「高校数学セミナー」の報告（３日目）をします。）「高校数学セミナー」の３日目は、講師の筑波大学渡辺公夫教授
でして、テーマは「フェルマーの最終定理を解決するにあたる経緯と証明の概要」です。
最初から、受講生に力ずく、「数学を学ぶのに必要なことは、、人より早く解く方法だけでなく、なぜこの理論が生まれたかを考えることです。自分の思考空間をいかに広げるかなんです。これが数学のダイゴミなんです。」と話しかけられました。
講義の中にでてきた幾つかの問題を書きます。
問題１：肉屋に買い物に行って、√２ｋｇの牛肉を買ってきてください。あなたが肉屋の主人ならどうようにして、測りますか。
問題２．三平方の定理を知ったばかりの中学生に、３辺の長さが、３ｃｍ、５ｃｍ、７ｃｍの三角形がある。このとき、辺が７ｃｍである対角の角度は何度ですか。
問題３：ａ、ｂ、ｃが自然数のとき、次の三平方の定理の解を一般に表してください。
（１） a２＋ｂ２＝ｃ２
（２）ａ２＋（ａ＋１）２＝ｃ２
（３）ａ２＋ｂ２＝（ｂ＋１）２
（４）ａ２＋ｂ２＝（２ａ±１）２
問題４：ｌｉｍ ｎ（２＾1/n −１）の値です。（受講生には、結果として使いました）
ｎ→∞
さらに、この値を電卓で求めました。この方法も考えてください。ただ、ｎ＝１０で十分です。
また、丸いケーキを中心から、扇形に切ったケーキを半分にする方法や、楕円の場合はどうですか。（これらは、図形がないと考えにくいので、割愛します。）
さらに、カバリエリの原理を説明され、２次曲線の面積を求める問題もありました。（これも、グラフがないと考えにくいので、割愛します。）
午後からｙ＝１／ｘのグラフにおいて、区間［１，４］とｘ軸で囲まれた面積を半分にするには、区間［１，ｔ］のどこで区切ればよいですか。ここでも、カバリエリの原理を使いました。まだ、積分も対数も知らない受講生なのに解けるのです。
最後には、フライ曲線から、フライ予想、志村＝谷山予想の話ででてきて「フェルマーの最終定理」の講義が終了しました。
なお、２月９日の朝日新聞の夕刊の記事を載せておきます。☆ 有名な「フェルマーの最終定理」を解くカギになった数学の超難問「谷山・志村予想」を完全に証明したと、米国とフランスの共同研究チームが２月８日、明らかにした。チームの一員で、仏国立科学研究センターのクリストフ・ブルイユ研究員（32）は朝日新聞の取材に「証明は終わっており、米数学会誌への論文掲載も決まっている」と話した。谷山・志村予想は、東京大学の谷山豊・助教授（故人）と米プリンストン大の志村五郎名誉教授が1950年代半ばから60年代にかけて提示した。「楕円曲線」と呼ばれる曲線の仲間はすべて、数学的に極めて美しい「モジラー形式」に支配されるという内容だ。予想が提示されて以来、新しい数の理論が生まれ、素粒子論や暗号理論に影響を与えらた。☆
また、岐阜新聞の２月８日夕刊の「谷山・志村予想」の記事です。全文引用して、紹介します。
☆半世紀近く日本で生まれ、有名な「フェルマーの最終定理」が1995年に証明されたのに伴って一部が証明されていた数学の難問「谷山・志村予想」を、米国とフランスの共同チームが全面的に証明した。
谷山・志村予想は数論や解析学、代数幾何学という数学の異なる分野間にある深いつながりを示しており、フェルマーの最終定理よりはるかに豊富な数学的内容を持つ。証明を仕上げたのはリチャード・テーラー米ハーバード大学教授やフランス・パリ南大のクリストフ・ブルイユ博士ら四人。論文は米数学会誌に近く発表する。
谷山・志村予想は、有理数を係数に持つ方程式で決まる「だ円曲線」はすべて、非常に美しい対称性を持つ極めて特殊な関数「保型形式」に結びついているという内容だ。故・谷山豊博士（1927〜1958）が５０年代に着想し、共同研究者の志村五郎・米プリンストン大名誉教授が６０年代に定式化。全く違う２つの数学的対象の深い関連を示唆し、学界に衝撃を与えた。
アンドリュー・ワイルズ・プリンストン大教授がフェルマーの最終定理を証明した際、ある場合に予想が成り立つことを証明。その手法から藤原一宏名古屋大学助教授とフレッド・ダイヤモンド米ブランダイス大准教授が別々に同じ予想証明の基礎理論を作った。テーラー教授やダイヤモンド准教授らは今回、その理論に詳細な計算を組み合わせ、どんな場合も予想が成り立つことを証明した。
以上です。太郎さんは以前から、気にしていたベル数のでてきる２つの問題を教授に尋ねておきました。１つは、第４６回の応募問題「無限級数の和」と
２つ目は、「プレゼント問題」のNo106の中に出てくるベル数はどうしてですか。「(原点のまわりの)m次のモーメント」を求める公式は何ですか？ どのような世界でつながっているか疑問の思っています。教えてください。