＜浜田　明巳＞さんからの解答７月２６日受信　

第２３回数学的な応募問題（スターウォーズグッズ）解答

　いつものようにパソコンのプログラムで答を出してみました．これは水野さんの意図した答ではない，と重々思ってはいるのですが，これこそが私らしい解答である，という信念を貫かせて頂きます．申し訳有りません．２タイプのおまけがｎ種類ごとにありますので，おまけに１から２ｎの数字を対応させます．１からｎまでをＡタイプ，ｎ＋１から２ｎまでをＢタイプとします．パソコンの乱数関数により，１から２ｎの数字を出し，出るおまけを決めます．Ａタイプ，またはＢタイプのいずれかがそろった時点で１回の試行が終わります．この試行をｎ＝１から６６（＝３×２２）まで行い，１セットの試行が終わります．この試行を１００００（＝最大）セット繰り返し，それぞれの期待値を求めます．

　今回は，ＵＢＡＳＩＣでプログラムを作ってみました．ＵＢＡＳＩＣは，最近ではインターネットから無料でダウンロード出来るようになっています．このプログラムにより，答は以下のようになりました．

ＰＳ．「グッツ」ではなく「グッズ（goods）」ではないでしょうか？

　おまけを集めるマニアでしたら，ＡタイプまたはＢタイプのいずれかが集まっただけでは満足しないと思います．やはりあるだけすべてを集めないと．したがってこの問題はあまり現実的ではないような気がします．しかし数学の問題としては，こちらの方が面白いですね．

＜水の流れ：コメント＞　言葉の間違いありがとうございました。思慮不足でした。感謝します。ちょっと気になります結果が。私の計算とは若干違っているのです。今日の課題とします。

＜水の流れ：コメント＞　前回の分をはずして、今回の分を載せます。７月３１日記

＜浜田　明巳＞さんからの解答７月３１日受信　

第２３回数学的な応募問題（スターウォーズグッツ）解答その２

　水野さんの指摘の箇所を検証してみました．はずかしい限りです．申し訳有りません．プログラムのちょっとしたところをミスしていました．バグ取りをしたプログラムを改めて投稿して，そのデータを掲載させて下さい．考えてみれば，ｎ＝３のとき，平均が６回以下ということはないですよね．どうぞ訂正しておいて下さい．

　10 'asave "mondai23.ub"

20 randomize val(right(time,2)):cls 3:console 0,25,0

30 最大=10000:行=22:列=int(80/3):試行回数=0

40 ｎ=3*行:dim 個数(2*ｎ),和(1),本数(ｎ):for J=1 to ｎ:本数(J)=0:next

50 while 試行回数<最大 and inkey="":試行回数+=1

60 for J=1 to ｎ

70 for JJ=0 to 1:和(JJ)=0:next

80 for JJ=1 to 2*J:個数(JJ)=0:next:回数=0

90 while 和(0)<J and 和(1)<J:回数+=1

100 グッズ=int(2*J*rnd)+1

110 if 個数(グッズ)=0 then 和((グッズ>J))+=1:個数(グッズ)=1

120 wend

130 本数(J)+=回数

140 next

150 locate 0,0:print "試行回数=";:print using(7,0),試行回数

160 for J=0 to 2:for JJ=行*J+1 to 行*J+int(ｎ/3):locate 列*J,JJ-行*J

170 print "Ｅ(ｎ=";:print using(3,0),JJ;

180 print ")=";:print using(6,3),本数(JJ)/試行回数

190 next:next

200 wend:while inkey<>"":wend

210 if 試行回数<最大 then end

220 open "mondai23.dat" for output as #1

230 print #1,最大:for J=1 to ｎ:print #1,J,本数(J)/最大:next:close:end

試行回数= 10000

n=1 （1.0） 　n=2 （3.6703） 　n=3 （7.3026） 　n=4 （11.6461） n=5（16.341） 　n=6（21.6493）

n=7（27.2643）n=8(32.8045) n=9 (38.8625) n=10(45.2246) 　n=11 (51.6434) 　n=12(58.5114)

n=13 (65.285) n=14(72.3224) n=15(79.3072) n=16 (86.7579) n=17 (93.8017) 　n=18 (101.2137)

n=19 (108.901) n=20 (117.389) n=21 (124.155)　n=22 (132.38) n=23 (140.344)　n=24 (148.259)

n=25 (156.685) n=26 (165.019) n=27 (173.237)　n=28 (181.106) n=29 (189.923) n=30(198.100)

n=31 (206.311) n=32 (216.105) n=33 (224.119) 　n=34 (232.966) n=35 (241.005) n=36 (251.044)

n=37 (259.180) n=38 (269.055) n=39 (278.446) 　n=40 (287.742) n=41 (295.978) n=42 (305.048)

n=43 (314.059) n=44 (324.546) n=45 (333.218) 　n=46 (342.889) 　n=47 (351.916) n=48 (361.340)

n=49 (370.472) n=50 (380.734) n=51 (392.110) n=52 (399.830) 　n=53 (410.304) n=54 (419.411)

n=55 (429.169) n=56 (440.823) n=57 (448.388) n=58 (459.793) n=59 (468.861) n=60 (478.339)

n=61 (489.902) n=62 (497.620) n=63 (509.624) n=64 (517.713) n=65 (528.372) n=66 (538.729)

＜水の流れ：コメント＞　時間をください。計算で考えたのを載せますからね。しばらく、ご猶予を

＜水の流れ：コメント＞　遅くなりましたが、８月８日に解説しました。

最初に１個買うと１つ手に入ります。２個目は、自分がすでに持っているものと違うグッズが 得られる確率が49/50なので、２個目を手に入れるまでの 期待購入数は50/49となります。同様に、３個目を手に入れるまでの期待購入数は50/48、・・・４９個目を手に入れるまでの期待購入数は50/２、

最後の１個を手に入れるまでの期待購入数は50/１

したがって、すべてを手に入れるまでの期待購入数は　50(1/1+1/2+1/3+・・・+1/49+1/50) となります。

期待購入数／グッズの総数＝1/1+1/2+1/3+・・・+1/49+1/50 となり、どこかで見かけた式が出てきました。

　そうです。これを、一般に考えていきます。そこで、次のような極限値を求めてみることにします。

ｎ→∞のとき、 （1/1+1/2+1/3+・・・+1/ｎ−log n）→０．５７７２…（オイラー定数）

になります。ここで、

ｎ＝５０のとき、 （1/1+1/2+1/3+・・・+1/50）≒log 50＋０．５７７２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３．９１２０＋０．５７７２＝４．４８９２

よって、５０×４．４８９２＝２２４．４６　となり、約２２５本買わなければなりません。

ｎ＝１００のとき、100（1/1+1/2+1/3+・・・+1/100）≒100(log 100＋０.5772)

=100(4,6052＋０.5772)=518,24

となり、１００個のグッズのときは、平均５１８本買わなければなりません。

　今回の問題は、ＡかＢのどちらかの全種類が集まるまでに飲料水を買う本数の平均です。

問題１：Ａタイプが３種類、Ｂタイプが３種類ですから、まず、異なるおまけとする。

どちらかが全種類そろって、買いのをやめたときは手元にｋ種類（ｋ＝３，４，５）があります。

例えば、（ｋ−１）回買う間にどちらかのタイプを２種類持っていて、ｋ回目に最後のおまけを得る確率は

組合わせの記号Ｃを用いて、２×Ｃ（２，２）／Ｃ（６，３）＝１／10

２×Ｃ（３，２）／Ｃ（６，３）＝３／10

　　　　　　　　　　　　　２×Ｃ（４，２）／Ｃ（６，３）＝６／10

一方、飲料水の本数は６種類のうち異なるｋ種類のものを得るための平均は

６（1／6＋1／5＋1／4）＝37／10

６（1／6＋1／5＋1／4＋1／3）＝57／10

６（1／6＋1／5＋1／4＋1／3＋1／2）＝87／10

　したがって、求める平均Ｅは

(１／10×37／10)＋(3／10×57／10) ＋(６／10×８7／10)＝７３／１０＝７．３（本）

問題２